FC2ブログ
06« 1.2.3.4.5.6.7.8.9.10.11.12.13.14.15.16.17.18.19.20.21.22.23.24.25.26.27.28.29.30.31.»08

【3日間で完成!(1)】二項定理② 

もうやらないと思ってた人もいるかもしれないね
やらないんじゃなくて、やれなかったんだけど。

パソコン壊れてたんでね



それでは、前回の答えからいきましょう

答え
nC0+nC1+……+nCn=2n=256
∴ n=8


と、このようになります。
まあ1か月近くあいてるんできっと出来てるでしょう。



それでは、次に多項定理と呼ばれるものをみていきたいと思います。
具体的にはこういう問題ですね


例4
(a+b+c)7の展開式におけるa4bc2の項の係数を求めよ。

答え
{(a+b)+c}7の展開式において、c2を含む項は 7C2(a+b)5c2
(a+b)5の展開式において、a4bの項は 5C1a4b
∴ 求める係数は 7C2×5C1=105


となります。
これは多項定理というものを知らない場合に、二項定理のみを用いて解くやりかたですね。
では、多項定理と呼ばれるものを紹介しましょう。


(a+b+c)nの展開式における apbqcrの項の係数は
n!/(p!q!r!) で表される。(ただし、p+q+r=n)


というものです。
これを使えば、上の答えは 7!/(4!1!2!)=105 と簡単に出せますね


さて、ここまではまあ教科書レベルの範囲でしょう。
次の問題から本格的な二項定理の応用になります。


例5
2121を400で割った時の余りを求めよ。


答え
2121=(1+20)21
    =21C0+21C120+21C2202+21C3203+……+21C212021
400=202であるから、21C2202+……+21C212021は400の倍数となる。
残りの項は、 21C0+21C120=421=400+21
∴ 求める余りは21


さあ、どうでしょう?
初めて見て二項定理の問題だと気付ける人はなかなか勘がいいんじゃないでしょうか。
普通に考えれば整数の分野の問題っぽいですからね

合同式でも似たような問題がありますが、あれはもっと割る数が小さいので。
そうじゃないと、うまく1nにもっていけないんでね


ということで、二項定理の応用範囲がまあまあ広いってことがわかってもらえたかと思います。
今日は例5の少し応用を出して終わりにしようかと



例6
101100の下8桁を求めよ。

どうでしょう?
もちろんヒントは例5の考え方ですね


-- 続きを読む --
スポンサーサイト



カテゴリ: 今日の一題

tb: 0   cm: 0

【3日間で完成!(1)】二項定理① 

ということで、題名の通り新企画です!

3日間で完成!シリーズ!!!!

目的はその名の通り、1つの単元について、3日間で完成させようということです。
ブログの記事書くのって案外時間かかるじゃないですか。
それをうまく使っていって、3日分も書けば完璧になるだろう、という魂胆です。

なお、3日間連続でやるわけではないので悪しからず。
また、教科も数学に縛るつもりは今のところないです。

物は試し。続くかどうかなんて俺には関係ないことだからね。
まずはやってみなければ。


ということで、第一弾は二項定理です。
1日目は基本的な使い方について見ていきましょう。


まず、二項定理とはどんな定理だったのか確認です。

(a+b)n=nC0annC1an-1b+nC2an-2b2+・・・・・・+nCran-rbr+・・・・・・+nCnbn

というものでした。
一度使っていれば、多分忘れない定理でしょう。そんなに複雑な定理ではないですし。

なお、nCran-rbrのことを展開式の一般項といい、係数nCr二項係数なんて言ったりしました。
大学入試で数学は記述なので、言葉は覚えといて損はないです。
いつ何時使うか分からないんで。


さて、公式を見れば分かりますが、どんな時に使うのかといえば、(a+b)nの展開をするときですね。


例1
(a+b)4 を展開せよ。

答え
(a+b)4=4C0a4+4C1a3b+4C2a2b2+4C3ab3+4C4b4
    =a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4

となりますね。

でも、ハッキリ言って使い道がこれだけなら3日間ではなく3分で出来ます。
わざわざ3日間かけてやるわけですから、それなりに応用の仕方ってのがあるんですね。
それの代表例がこちら


例2
nC0nC1nC2+・・・・・・+nCn=2n   となることを証明せよ。

答え
2nを (1+1)n として、二項定理を用いて展開すると
(1+1)n=nC01n+nC11n-1×1+nC21n-2×12+・・・・・・+nCn1n
    =nC0+nC1+nC2+・・・・・・+nCn

∴ nC0nC1nC2+・・・・・・+nCn=2n  となる。


といったところです。
少しずつ二項定理の素晴らしさが見えてきてるかも。


さて、これを少し応用させるとこんな問題にもなります。

例3
nC1nC2+・・・・・・+nCn=255 となるnの値を求めよ。


さて、これを今回の宿題(?)とします。
次回の最初はこれの答えから始めるつもりです。

それでは次回があれば、また。

カテゴリ: 今日の一題

tb: 0   cm: 0

今後の方針 

ということで、突然ですが終わったこの企画。

理由は最後の記事にも軽く書きましたが、単純に多忙なだけです。
さすがに、こんなところでこんなことを書くほどの暇はなかったってことですね

でも、気が向いたら数学の解説記事は書きます。
ただ、今までのように毎日のように記事が投稿されることはないと思います。


それと、ブログの更新が止まるわけじゃないですからねww
去年くらいのペースにはなるかもしれませんが。


今日の一題に関してはこんなもんですかね

約2ヶ月でしたが、もし見てくれていた方がいればありがとうございました。
ぜひブログは見続けてくださいね

カテゴリ: 今日の一題

tb: 0   cm: 0

【数Ⅰ】13/5/11 今日の一題・・・57日目 

それでは昨日の問題から


y=x4+2x2+3 の最小値を求めよ。


さて、昨日長い間お付き合いになるって言ったけど、何とお付き合いになるのか?ってことですね。
今回の問題は、文字で置き換えるタイプでした。
このタイプと長い間お付き合いになります。
まずは解答を見てみましょう


t=x2とおく。 このとき、t≧0である。
y=x4+2x2+3
=t2+2t+3
=(t+1)2+2 グラフは下に凸で、軸は直線t=-1

t≧0より、t=0のときyは最小値3をとる。 また、t=0よりx=0

よって、最小値3 (x=0)


となります。
赤字にしておいたところが本当に大事です。
ようするに、置き換えた文字の変域に注意するということです。

今後は、三角関数・指数関数・対数関数なんかで文字おきをすることが増えます。
そのとき、範囲をしっかり書いておかないと、減点になったり、今回の場合であれば答えが変わってしまいます。
絶対忘れないようにしましょう


それでは、今日の問題。2次関数は最後になります


実数xとyが2x-y=5を満たしながら変化するとき、x2+y2の最小値を求め、さらにその時のxとyの値も求めよ。


いわゆる2変数関数と呼ばれるやつです。
2次関数はここまでやらなきゃ意味がない!!って感じなんで、絶対にやりましょう

カテゴリ: 今日の一題

tb: 0   cm: 0

【数Ⅰ】13/5/10 今日の一題・・・56日目 

それでは昨日の問題から


関数 y=x2-2x+2 (a≦x≦a+2) の最大値を求めよ。


いつもどおり平方完成からいきましょう
y=(x-1)2+1 となればおk 今回はxと数字のみなんで困ることもないね

前回は頂点が最小値で分かりやすかったけど、今回は最大値なんで考えにくいかもしれないですね
でも、相変わらず頂点を基準にします。
今回のグラフで頂点は(1,1)です。その頂点がどこにあったらどこが最大になるかで場合分けします

それでは、解答。

(i)a<0 のとき
頂点が定義域の中央より右側にあるため、x=aで最大値をとり、その最大値は a2-2a+2

(ii)a=0 のとき
頂点が定義域の中央にあるため、x=0,2で最大値をとり、その最大値は 2

(iii)a>0 のとき
頂点が定義域の中央より左側にあるため、x=a+2で最大値をとり、その最大値は a2+2a+2

よって、(i)~(iii)より
a<0のとき 最大値a2-2a+2 (x=a)
a=0のとき 最大値2 (x=0,2)
a>0のとき 最大値a2+2a+2 (x=a+2)



というようになります。少し考え方が難しくなった感じですかね
2013センター数ⅠAの二次関数には、このタイプが出てます。
センター2日後くらいに俺がやった時には、そこでつまりました。
でも、今なら出来るようになってるはず


それでは、今日の問題です


y=x4+2x2+3 の最小値を求めよ。


今日のタイプは、直接的ではないにしろ、間接的にはかなり大事です。
今後このタイプは長い間お付き合いになります。

このままだと4次関数なんで、なんとかして2次関数にしてくださいね
そうすれば何も難しくないです

カテゴリ: 今日の一題

tb: 0   cm: 0