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【3日間で完成!(1)】二項定理① 

ということで、題名の通り新企画です!

3日間で完成!シリーズ!!!!

目的はその名の通り、1つの単元について、3日間で完成させようということです。
ブログの記事書くのって案外時間かかるじゃないですか。
それをうまく使っていって、3日分も書けば完璧になるだろう、という魂胆です。

なお、3日間連続でやるわけではないので悪しからず。
また、教科も数学に縛るつもりは今のところないです。

物は試し。続くかどうかなんて俺には関係ないことだからね。
まずはやってみなければ。


ということで、第一弾は二項定理です。
1日目は基本的な使い方について見ていきましょう。


まず、二項定理とはどんな定理だったのか確認です。

(a+b)n=nC0annC1an-1b+nC2an-2b2+・・・・・・+nCran-rbr+・・・・・・+nCnbn

というものでした。
一度使っていれば、多分忘れない定理でしょう。そんなに複雑な定理ではないですし。

なお、nCran-rbrのことを展開式の一般項といい、係数nCr二項係数なんて言ったりしました。
大学入試で数学は記述なので、言葉は覚えといて損はないです。
いつ何時使うか分からないんで。


さて、公式を見れば分かりますが、どんな時に使うのかといえば、(a+b)nの展開をするときですね。


例1
(a+b)4 を展開せよ。

答え
(a+b)4=4C0a4+4C1a3b+4C2a2b2+4C3ab3+4C4b4
    =a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4

となりますね。

でも、ハッキリ言って使い道がこれだけなら3日間ではなく3分で出来ます。
わざわざ3日間かけてやるわけですから、それなりに応用の仕方ってのがあるんですね。
それの代表例がこちら


例2
nC0nC1nC2+・・・・・・+nCn=2n   となることを証明せよ。

答え
2nを (1+1)n として、二項定理を用いて展開すると
(1+1)n=nC01n+nC11n-1×1+nC21n-2×12+・・・・・・+nCn1n
    =nC0+nC1+nC2+・・・・・・+nCn

∴ nC0nC1nC2+・・・・・・+nCn=2n  となる。


といったところです。
少しずつ二項定理の素晴らしさが見えてきてるかも。


さて、これを少し応用させるとこんな問題にもなります。

例3
nC1nC2+・・・・・・+nCn=255 となるnの値を求めよ。


さて、これを今回の宿題(?)とします。
次回の最初はこれの答えから始めるつもりです。

それでは次回があれば、また。
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カテゴリ: 今日の一題

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